Question

4．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E，F分别是上底面A₁B₁C₁D₁和侧面CDD₁C₁的中心．
（1）求cos∠EAF；
（2）求直线AE与平面CDD₁C₁所成角的正弦值；
（3）求直线AF与平面BDD₁B₁所成角的大小．

Answer 1

分析 设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的边长为2，以A为原点建立空间坐标系；
（1）cos∠EAF=cos＜$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{AF}$＞，代入可得答案；
（2）平面CDD₁C₁的法向量$\overrightarrow{AD}$=（0，2，0），设直线AE与平面CDD₁C₁所成角为θ，则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AD}|}{\left|\overrightarrow{AE}\right|•\left|\overrightarrow{AD}\right|}$，代入可得答案；
3）平面BDD₁B₁的法向量$\overrightarrow{AC}$=（2，2.0），设直线AF与平面BDD₁B₁所成角为α，则sinα=$\frac{|\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{AC}|}{\left|\overrightarrow{AF}\right|•\left|\overrightarrow{AC}\right|}$，代入可得答案．

解答 解：设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的边长为2，建立如下图所示的空间坐标系，

则$\overrightarrow{AE}$=（1，1，2），$\overrightarrow{AF}$=（1，2，1），
（1）cos∠EAF=cos＜$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{AF}$＞=$\frac{1+2+2}{\sqrt{6}•\sqrt{6}}$=$\frac{5}{6}$，
（2）平面CDD₁C₁的法向量$\overrightarrow{AD}$=（0，2，0），
设直线AE与平面CDD₁C₁所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AD}|}{\left|\overrightarrow{AE}\right|•\left|\overrightarrow{AD}\right|}$=$\frac{0+2+0}{\sqrt{6}•2}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$；
（3）平面BDD₁B₁的法向量$\overrightarrow{AC}$=（2，2.0），
设直线AF与平面BDD₁B₁所成角为α，
则sinα=$\frac{|\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{AC}|}{\left|\overrightarrow{AF}\right|•\left|\overrightarrow{AC}\right|}$=$\frac{2+4+0}{\sqrt{6}•2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故α=60°，
即直线AF与平面BDD₁B₁所成角为60°．

点评 本题考查的知识点是直线的夹角，直线与平面的夹角，空间向量求夹角，难度中档．