Question

9．在四棱锥P-ABCD中：ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a．
（1）求二面角P-CD-A的大小；
（2）求四棱锥P-ABCD的全面积；
（3）求C点到平面PBD的距离．

Answer 1

分析 （1）找出二面角P-CD-A的平面角并求出大小；
（2）计算四棱锥P-ABCD各个面的面积再求和；
（3）利用等体积法即可求出C点到平面PBD的距离．

解答 解：（1）因为ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD；
又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，
所以PD⊥CD，AD⊥CD，
所以∠PDA为二面角P-CD-A的平面角，
又PA=AD=a，所以∠PDA=45°，
即二面角P-CD-A的大小为45°；
（2）由（1）得，CD⊥平面PAD，
所以CD⊥PD，△PCD是直角三角形；
因为PA=AB=a，所以S_△PCD=$\frac{1}{2}$•a•$\sqrt{2}$a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a²；
同理CB⊥PB，即S_△BCP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a²；
因为PA⊥面ABCD，底面ABCD为正方形，
所以S_△ABP=S_△ADP=$\frac{1}{2}$•a•a=$\frac{1}{2}$a²，
S_底面ABCD=a²；
所以四棱锥P-ABCD的全面积为
S=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a²+$\frac{\sqrt{2}}{2}$a²+$\frac{1}{2}$a²+$\frac{1}{2}$a²+a²=（$\sqrt{2}$+2）a²；
（3）设C点到平面PBD的距离为h，
则△PBC是边长为$\sqrt{2}$a的正三角形，其面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$•${（\sqrt{2}a）}^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²；
所以三棱锥P-BDC的体积是
V_{三棱锥P-BDC}=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$a²×a=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²•h，
解得h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
即C点到平面PBD的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$a．

点评 本题考查了三棱锥中线面角以及面面角的求法以及点到平面距离的计算问题，考查了空间想象能力与转化思想的应用问题，是综合性题目．