分析 (1)an+1-$\frac{1}{2}$an=$\frac{1}{{2}^{n}}$,n∈N*,变形为2n+1an+1-2nan=2,利用等差数列的通项公式可得an.
(2)bn=sin$\frac{π{a}_{n}}{2}$=$sin\frac{nπ}{{2}^{n}}$,当n=1时,b1=$sin\frac{π}{2}$=1;当n=2时,b2=1;当n=3时,b3=$sin\frac{3π}{8}$<1.当n≥4时,bn=$sin\frac{nπ}{{2}^{n}}$<$\frac{nπ}{{2}^{n}}$,再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式、不等式的性质即可得出.
解答 (1)解:∵an+1-$\frac{1}{2}$an=$\frac{1}{{2}^{n}}$,n∈N*,
∴2n+1an+1-2nan=2,
∴数列{2nan}是等差数列,首项与公差都为2.
∴2nan=2+2(n-1)=2n,
∴an=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$.
(2)证明:bn=sin$\frac{π{a}_{n}}{2}$=$sin\frac{nπ}{{2}^{n}}$,
当n=1时,b1=$sin\frac{π}{2}$=1;当n=2时,b2=1;当n=3时,b3=$sin\frac{3π}{8}$<1.
当n≥4时,bn=$sin\frac{nπ}{{2}^{n}}$<$\frac{nπ}{{2}^{n}}$,
令Tn-3=$\frac{4}{{2}^{4}}$+$\frac{5}{{2}^{5}}$+$\frac{6}{{2}^{6}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$,
$\frac{1}{2}{T}_{n-3}$=$\frac{4}{{2}^{5}}$+$\frac{5}{{2}^{6}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$,
∴$\frac{1}{2}{T}_{n-3}$=$\frac{1}{4}$+$(\frac{1}{{2}^{5}}+\frac{1}{{2}^{6}}+…+\frac{1}{{2}^{n}})$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$,
∴Tn-3=$\frac{1}{2}$+$(\frac{1}{{2}^{4}}+\frac{1}{{2}^{5}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}})$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{\frac{1}{16}(1-\frac{1}{{2}^{n-4}})}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=$\frac{3}{8}$-$\frac{1+n}{{2}^{n}}$<$\frac{3}{8}$,
∴关于数列{bn}的前n项和Sn的不等式Sn<3+$\frac{3π}{8}$<5恒成立.
点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
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