Question

8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a≠b，cos²A-cos²B=$\sqrt{3}sinAcosA-\sqrt{3}sinBcosB$
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若$c=\sqrt{3}$，求△ABC的周长的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据三角恒等变换化简cos²A-cos²B=$\sqrt{3}sinAcosA-\sqrt{3}sinBcosB$，求出A+B与C的值；
（Ⅱ）由余弦定理和基本不等式，即可求出周长a+b+c的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由cos²A-cos²B=$\sqrt{3}sinAcosA-\sqrt{3}sinBcosB$，
得$\frac{1+cos2A}{2}$-$\frac{1+cos2B}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin 2A-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin 2B，…（2分）
即$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin 2A-$\frac{1}{2}$cos 2A=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin 2B-$\frac{1}{2}$cos 2B，
所以sin（2A-$\frac{π}{6}$）=sin（2B-$\frac{π}{6}$），…（6分）
由a≠b，得A≠B，又A+B∈（0，π），
得2A-$\frac{π}{6}$+2B-$\frac{π}{6}$=π，
即A+B=$\frac{2π}{3}$，所以C=$\frac{π}{3}$；…（6分）
（Ⅱ）由余弦定理得：
c²=a²+b²-2ab•cosC3=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab…（8分）
$＞{（a+b）^2}-3\frac{{{{（{a+b}）}^2}}}{4}=\frac{{{{（{a+b}）}^2}}}{4}$，
则$a+b＜2\sqrt{3}$，…（10分）
又$a+b＞c=\sqrt{3}$，
$\sqrt{3}＜a+b＜2\sqrt{3}$，
$2\sqrt{3}＜a+b+c＜3\sqrt{3}$；
所以三角形周长的取值范围为$（2\sqrt{3}，3\sqrt{3}\left.{\;}）$．…（12分）

点评 本题考查了三角恒等变换以及余弦定理和基本不等式的应用问题，是综合性题目．