【题目】数列{an}是公比为q(q>1)的等比数列,其前n项和为Sn . 已知S3=7,且3a2是a1+3与a3+4的等差数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式an;
(Ⅱ)设bn= ,cn=bn(bn+1﹣bn+2),求数列{cn}的前n项和Tn .
【答案】解:(Ⅰ)依题意, ,解得: , ∴数列{an}的通项公式an=2n﹣1;
(Ⅱ)∵bn= = ,cn=bn(bn+1﹣bn+2)= ( ﹣ )=( ﹣ )﹣ ( ﹣ ),
∴Tn=c1+c2+…+cn=[(1﹣ )﹣ ( ﹣ )]+[( ﹣ )﹣ ( ﹣ )]+…+[( ﹣ )﹣ ( ﹣ )]
=(1﹣ )﹣ (1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ )
= ﹣ (1+ ﹣ ﹣ )
= ﹣ .
【解析】(Ⅰ)依题意,可得, ,解得首项与公比,即可求得等比数列{an}的通项公式an;(Ⅱ)由an=2n﹣1可得bn= = ,cn=bn(bn+1﹣bn+2)=( ﹣ )﹣ ( ﹣ ),利用裂项法与分组求和法即可求得数列{cn}的前n项和Tn .
【考点精析】认真审题,首先需要了解数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系),还要掌握数列的通项公式(如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式)的相关知识才是答题的关键.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,曲线C1: (φ为参数,实数a>0),曲线C2: (φ为参数,实数b>0).在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l:θ=α(ρ≥0,0≤α≤ )与C1交于O、A两点,与C2交于O、B两点.当α=0时,|OA|=1;当α= 时,|OB|=2.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)求2|OA|2+|OA||OB|的最大值.
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【题目】已知函数f(x)=xlnx+2,g(x)=x2﹣mx.
(Ⅰ)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(Ⅱ)若方程f(x)+g(x)=0有两个不同的实数根,求证:f(1)+g(1)<0;
(Ⅲ)若存在x0∈[ ,e]使得mf′(x)+g(x)≥2x+m成立,求实数m的取值范围.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为 3 的菱形,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,PA=3,F 是棱 PA上的一个动点,E为PD的中点.
(Ⅰ)若 AF=1,求证:CE∥平面 BDF;
(Ⅱ)若 AF=2,求平面 BDF 与平面 PCD所成的锐二面角的余弦值.
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【题目】根据下面一组等式: S1=1
S2=2+3=5
S3=4+5+6=15
S4=7+8+9+10=34
S5=11+12+13+14+15=65
S6=16+17+18+19+20+21=111
S7=22+23+24+25+26+27+28=175
…
可得S1+S3+S5+…+S2n﹣1= .
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【题目】下列命题中正确的是( )
A.函数y=sinx,x∈[0,2π]是奇函数
B.函数y=2sin( ﹣2x)在区间[﹣ ]上单调递减
C.函数y=2sin( -2x)﹣cos( +2x)(x∈R)的一条对称轴方程是x=
D.函数y=sinπx?cosπx的最小正周期为2,且它的最大值为1
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【题目】已知函数f(x)= .
(1)求f(x)的极大值;
(2)求f(x)在区间(﹣∞,0]上的最小值;
(3)若x2+5x+5﹣aex≥0,求a的取值范围.
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【题目】已知向量 =(2sin ,2sin ), =(cos ,﹣ sin ). (Ⅰ)求函数f(x)= + 的最小正周期;
(Ⅱ)若β= ,g(β)=tan2α,α≠ + 且α≠ +kπ(k∈Z),数列{an}满足a1= ,an+12= ang(an)(n≤16且n∈N*),令bn= ,求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn .
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【题目】某校高三共有900名学生,高三模拟考之后,为了了解学生学习情况,用分层抽样方法从中抽出若干学生此次数学成绩,按成绩分组,制成如下的频率分布表:
组号 | 第一组 | 第二组 | 第二组 | 第四组 |
分组 | [70,80) | [80,90) | [90,100) | [100,110) |
频数 | 6 | 4 | 22 | 20 |
频率 | 0.06 | 0.04 | 0.22 | 0.20 |
组号 | 第五组 | 第六组 | 第七组 | 第八组 |
分组 | [110,120) | [120,130) | [130,140) | [140,150] |
频数 | 18 | a | 10 | 5 |
频率 | b | 0.15 | 0.10 | 0.05 |
(1)若频数的总和为c,试求a,b,c的值;
(2)为了了解数学成绩在120分以上的学生的心理状态,现决定在第六、七、八组中用分层抽样方法抽取6名学生,在这6名学生中又再随机抽取2名与心理老师面谈,令第七组被抽中的学生数为随机变量ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望;
(3)估计该校本次考试的数学平均分.
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