Question

已知

m

=(cos(x+

2π

3

)，cos

x

2

)，

n

=(1，2cos

x

2

)．
（I）设函数g（x）=

m

•

n

，将函数g（x）的图象向右平移

π

6

单位，再将所得图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的

1

2

，得到函数f（x），求函数f（x）的单调减区间；
（II）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B为锐角，且f(B)=1，b=1，c=

3

，求a．

Answer 1

分析：（I）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，然后由“左加右减”规律，得到将函数g（x）的图象向右平移

π

6

单位的解析式，再将x化为2x，确定出f（x）解析式，由余弦函数的单调减区间为[2kπ，2kπ+π]，k∈Z，列出关于x的不等式，求出不等式的解集得到f（x）的减区间；
（II）由第一问确定的f（x）解析式及f（B）=1，得到cos（2B+

π

6

）=0，由B为锐角，得到2B+

π

6

的范围，利用余弦函数的图象及特殊角的三角函数值求出B的度数，进而确定出cosB的值，再由b与c的值，利用余弦定理即可求出a的值．

解答：解：（I）g（x）=

m

•

n

=cos（x+

2π

3

）+2cos²

x

2

=-

1

2

cosx+

3

2

sinx+cosx+1
=

1

2

cosx+

3

2

sinx+1
=cos（x+

π

3

）+1，
由题意得：f（x）=cos（2x+

π

3

-

π

6

）+1=cos（2x+

π

6

）+1，
令2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ+π，k∈Z，解得：kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z，
则f（x）的单调减区间为[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z；
（II）由f（B）=cos（2B+

π

6

）+1=1，得到cos（2B+

π

6

）=0，
∵0＜B＜

π

2

，∴

π

6

＜2B+

π

6

＜

7π

6

，
∴2B+

π

6

=

π

2

，即B=

π

6

，又b=1，c=

3

，
则由余弦定理得：b²=a²+c²-2ac•cosB，即1=a²+3-3a，
整理得：（a-1）（a-2）=0，
解得：a=1或a=2．

点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，两角和与差的余弦函数公式，余弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．