Question

选修4-5：不等式选讲
已知x∈(0，

π

2

)，试求函数f(x)=3cosx+4

1+sin2x

的最大值．（自编题）

Answer 1

分析：由已知中x∈(0，

π

2

)，可知x的各三角函数值均为正，又由函数f(x)=3cosx+4

1+sin2x

，我们可设

m

=(3，4)，

n

=(cosx，

1+sin2x

)，由向量数量积的定义可得f(x)=3cosx+4

1+sin2x

=|

m

•

n

|，进而根据|

m

•

n

|≤|

m

||

n

|得到答案．

解答：解：设

m

=(3，4)，

n

=(cosx，

1+sin2x

)，
则f(x)=3cosx+4

1+sin2x

=|

m

•

n

|≤|

m

||

n

|=

32+42

•

cos2x+1+sin2x

=5

2

，
当且仅当

m

∥

n

时，上式取“=”．

点评：本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，其中根据已知中函数的解析式，将问题转化为向量数量积问题，进而根据向量模的性质构造不等式是解答本题的关键．