Question

14．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且过点$（{1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线l：y=k（x+1）与该椭圆交于M、N两点，且|$\overrightarrow{{F}_{2}M}$+$\overrightarrow{{F}_{2}N}$|=$\frac{2\sqrt{26}}{3}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的斜率公式，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的方程，即可求得椭圆方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，向量数量积的坐标，利用向量的模长公式即可求得k的值，求得椭圆方程．

解答 解：（1）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则a²=2b²，
将$（{1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$代入椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{2{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}=1$，解得：a²=2，b²=1，
∴求椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；   …（4分）
（2）设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消元得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2k}$，
∴y₁y₂=k（x₁+x₁+2）=$\frac{2k}{1+2{k}^{2}}$，
又∵$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=（x₁-1，y₁），$\overrightarrow{{F}_{2}N}$=（x₂-1，y₂），则$\overrightarrow{{F}_{2}M}$+$\overrightarrow{{F}_{2}N}$=（x₁+x₂-2，y₁+y₂），
∴|$\overrightarrow{{F}_{2}M}$+$\overrightarrow{{F}_{2}N}$|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}-2）^{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{8{k}^{2}+2}{1+2{k}^{2}}）^{2}+（\frac{2k}{1+2{k}^{2}}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{26}}{3}$，
化简得40k⁴-23k²-17=0，
解得k²=1或k²=-$\frac{17}{40}$（舍去），则k=±1，
∴所求直线l的方程为y=x+1，y=-x-1．     …（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查计算能力，属于中档题．