Question

抛物线y²=ax（a＞0）与直线x=1围成的封闭图形的面积为

4

3

，则二项式(x+

a

x

-2)20展开式中含x^-17项的系数是

 

．

Answer 1

分析：利用定积分，列出关于面积的式子，求出a，则二项式为(x+

1

x

-2)20=( 

x

-

1

x

)   40，再利用二项式定理求系数的方法求解．

解答：解：已知抛物线y²=ax（a＞0）与直线x=1围成的封闭图形的面积为

4

3

，
利用定积分，面积S=∫₀¹[

ax

-（-

ax

）]dx=∫₀¹2

ax

dx=

4

3

a

=

4

3

，得a=1，
这时二项式为(x+

1

x

-2)20=(

x

-

1

x

) 40，
利用二项式定理求系数的方法，T_r+1=C₄₀^r•x

40-r

2

•（-1）^r=（-1）^r•C₄₀^r•x^20-r，
依题意令20-r=-17，得r=37，即二项式展开式中含x^-17项的系数为（-1）³⁷•C₄₀³⁷=-9880．
故答案为-9880．

点评：本题考查定积分在求面积中的应用及利用二项式定理求二项式系数的试题．