Question

【题目】已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.

(1)当a＝1时，解不等式f(x)>0；

(2)当a＝，x∈[0,2]时，求f(x)的值域．

Answer 1

【答案】（1）(0，＋∞)；（2）[－1,11].

【解析】

（1）将a=1代入，求出函数的解析式，将2x看作一个整体，根据二次不等式的解法，求出2x的范围，结合指数函数的图象和性质，可得答案．

（2）将a=代入，求出函数的解析式，利用换元法，将问题转化为二次函数在定区间上的最值问题，求出函数最值后，得到函数的值域．

(1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1.

f(x)>0，即2·(2x)2－2x－1>0，

解得2x>1或2x<－ (舍去)，

∴x>0，∴不等式f(x)>0的解集为(0，＋∞)．

(2)当a＝时，f(x)＝4x－2x－1，x∈[0,2]．

设t＝2x.∵x∈[0,2]，∴t∈[1,4]．

∴y＝g(t)＝t2－t－1 (1≤t≤4)．

画出g(t)＝t2－t－1 (1≤t≤4)的图像(如图)，

可知g(t)min＝g(1)＝－1，g(t)max＝g(4)＝11，

∴f(x)的值域为[－1,11]．