Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=1，AB=

2

，BC=

3

，AA₁=

2

．
（Ⅰ）求证：A₁B⊥B₁C；
（Ⅱ）求二面角A₁-B₁C-B的大小．

Answer 1

分析：（I）根据ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱得到面ABB₁A₁⊥面ABC，从而证得AC⊥面ABB₁A₁，连接AB₁，可得A₁B⊥AB₁，最后由三垂线定理得A₁B⊥B₁C；
（II）作BD⊥B₁C，垂足为D，连接A₁D，根据二面角平面角的定义可知∠A₁DB为二面角A₁-B₁C-B的平面角，根据Rt△A₁B₁C≌Rt△B₁BC，可求出此角，从而得到二面角A₁-B₁C-B的大小．

解答：解：（I）由AC=1，AB=

2

，BC=

3

知AC²+AB²=BC²，
所以AC⊥AB．
因为ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，面ABB₁A₁⊥面ABC，
所以AC⊥面ABB₁A₁．（3分）
由AA1=AB=

2

，知侧面ABB₁A₁是正方形，连接AB₁，
所以A₁B⊥AB₁．
由三垂线定理得A₁B⊥B₁C．（6分）



（II）作BD⊥B₁C，垂足为D，连接A₁D．由（I）知，A₁B⊥B₁C，则B₁C⊥面A₁BD，
于是B₁C⊥A₁D，则∠A₁DB为二面角A₁-B₁C-B的平面角．（8分）∵A₁B₁⊥A₁C₁，∴A₁B₁⊥A₁C．
∵A1B1=BB1=

2

，A1C=BC=

3

，B1C=

5

，
∴Rt△A₁B₁C≌Rt△B₁BC，
∴A1D=BD=

A1B1•A1C

B1C

=

6

5

，又A1B=2，
∴cos∠A1DB=

A1D2+BD2-A1B2

2A1D•BD

=-

2

3

，
∠A1DA=arccos(-

2

3

)，
故二面角A₁-B₁C-B的大小为arccos(-

2

3

)．（12分）

点评：本题主要考查了空间两直线的位置关系，以及二面角及其度量，考查空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能力．