Question

15£®Èçͼ£¬ÔÚ¡÷ABCÖУ¬ÒÑÖªAB=2£¬AC=3£¬¡ÏBAC=60¡ã£¬µãD£¬E·Ö±ðÔÚ±ßAB£¬ACÉÏ£¬ÇÒ$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{AD}$£¬$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{AE}$£¬µãFλÏ߶ÎDEÉϵĶ¯µã£¬Ôò$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{CF}$µÄÈ¡Öµ·¶Î§ÊÇ[-$\frac{1}{16}$£¬$\frac{1}{2}$]£®£¨¡¡¡¡£©

Answer 1

·ÖÎö Éè$\overrightarrow{DF}=¦Ë\overrightarrow{DE}$£¬ÔËÓÃƽÃæÏòÁ¿»ù±¾¶¨Àí¡¢ÏòÁ¿µÄÈý½ÇÐη¨Ôò£¬½«ÏòÁ¿$\overrightarrow{AB}¡¢\overrightarrow{AC}$×÷ΪƽÃæ»ùµ×£¬Óûùµ×±íʾ$\overrightarrow{BF}$£¬$\overrightarrow{CF}$£¬ÔËÓÃÏòÁ¿µÄÊýÁ¿»ýµÄ¶¨Ò壬½áºÏÏòÁ¿µÄƽ·½¼´ÎªÄ£µÄƽ·½£¬½«$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{CF}$±íʾΪ¦ËµÄº¯ÊýÇó½â£®

½â´ð ½â£ºÉè$\overrightarrow{DF}=¦Ë\overrightarrow{DE}=¦Ë£¨\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}£©$=$\frac{1}{3}¦Ë\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}¦Ë\overrightarrow{AB}$£¬$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}=£¨\frac{1}{2}-\frac{1}{2}¦Ë£©\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}¦Ë\overrightarrow{AC}$£¬
¡à$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AF}=£¨-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}¦Ë£©\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}¦Ë\overrightarrow{AC}$£¬$\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF}=£¨\frac{1}{2}-\frac{1}{2}¦Ë£©\overrightarrow{AB}+£¨\frac{1}{3}¦Ë-1£©\overrightarrow{AC}$£»
Ôò$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{CF}$=$£¨\frac{1}{4}{¦Ë}^{2}-\frac{1}{4}£©{\overrightarrow{AB}}^{2}+£¨\frac{1}{2}-\frac{1}{3}{¦Ë}^{2}+\frac{1}{2}¦Ë£©\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$+$£¨\frac{1}{9}{¦Ë}^{2}-\frac{1}{3}¦Ë£©{\overrightarrow{AC}}^{2}$=${¦Ë}^{2}-\frac{3}{2}¦Ë+\frac{1}{2}$£¬
µ±¦Ë=0ʱ£¬f£¨¦Ë£©=${¦Ë}^{2}-\frac{3}{2}¦Ë+\frac{1}{2}$×î´óΪ$\frac{1}{2}$£¬µ±$¦Ë=\frac{3}{4}$ʱ£¬f£¨¦Ë£©=${¦Ë}^{2}-\frac{3}{2}¦Ë+\frac{1}{2}$×îСΪ-$\frac{1}{16}$£»
Ôò$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{CF}$µÄÈ¡Öµ·¶Î§ÊÇ[-$\frac{1}{16}$£¬$\frac{1}{2}$]£¬
¹Ê´ð°¸Îª£º[-$\frac{1}{16}$£¬$\frac{1}{2}$]£¬

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