Question

离心率为的椭圆C₁的长轴两端点分别是双曲线C₂：的两焦点．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）直线y=x+m与椭圆C₁交于A，B两点，与双曲线C₂两条渐近线交于P，Q两点，且P，Q在A，B之间，使|AP|，|PQ|，|QB|成等差数列，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）椭圆C₁的方程为（a＞b＞0），根据题意列方程组，解出即可；
（2）由|AP|，|PQ|，|QB|成等差数列，可得|AP|+|QB|=2|PQ|，则|AB|=|AP|+|PQ|+|QB|=3|PQ|，利用弦长公式表示出|AB|，根据两点间距离公式表示出|PQ|，解此关于m方程即可．
解答：解：（1）设椭圆C₁的方程为（a＞b＞0），
由题意知a²=1+4=5，所以a=，
又，所以，解得c=，则b²=a²-c²=5-=．
故椭圆C₁的方程为．
（2）由，得3x²+4mx+2m²-5=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-，x₁x₂=，
所以|AB|==•==•．
双曲线的渐近线方程为：y=2x，y=-2x，
由解得，由解得，
所以两交点P，Q的坐标为（m，2m），（-，），
|PQ|==，
因为|AP|，|PQ|，|QB|成等差数列，所以|AP|+|QB|=2|PQ|，所以|AB|=|AP|+|PQ|+|QB|=3|PQ|，
故•=3，解得m=±．
故m的值为±．
点评：本题考查椭圆的标准方程的求解及直线与圆锥曲线的位置关系问题，考查数形结合思想，考查学生分析问题解决问题的能力，直线与圆锥曲线的位置关系问题是解析几何中重要题型，弦长公式、两点间距离公式、韦达定理、判别式等解决该类问题的基础知识，须熟练掌握．