Question

如图，四棱锥P-ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．
（Ⅰ） 求证：PC⊥AD；
（Ⅱ） 在棱PB上是否存在一点Q，使得A，Q，M，D四点共面？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ） 求点D到平面PAM的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）法一：取AD中点O，连结OP，OC，AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，从而AD⊥平面POC，由此能证明PC⊥AD．
法二：连结AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，从而AM⊥PC，DM⊥PC，由此能证明PC⊥AD．
（Ⅱ）当点Q为棱PB的中点时，A，Q，M，D四点共面．取棱PB的中点Q，连结QM，QA，由已知得QM∥BC，由此能证明A，Q，M，D四点共面．
（Ⅲ）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，由已知得得PO为三棱锥P-ACD的体高，由V_D-PAC=V_P-ACD，能求出点D到平面PAM的距离．

解答： （Ⅰ）证法一：取AD中点O，连结OP，OC，AC，
依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，
所以OC⊥AD，OP⊥AD，又OC∩OP=O，OC?平面POC，OP?平面POC，
所以AD⊥平面POC，又PC?平面POC，
所以PC⊥AD．
证法二：连结AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，
又M为PC的中点，所以AM⊥PC，DM⊥PC，
又AM∩DM=M，AM?平面AMD，DM?平面AMD，
所以PC⊥平面AMD，
又AD?平面AMD，所以PC⊥AD．

（Ⅱ）解：当点Q为棱PB的中点时，A，Q，M，D四点共面，
证明如下：
取棱PB的中点Q，连结QM，QA，又M为PC的中点，所以QM∥BC，
在菱形ABCD中AD∥BC，所以QM∥AD，
所以A，Q，M，D四点共面．

（Ⅲ）解：点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，
由（Ⅰ）可知PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P-ACD的体高．
在Rt△POC中，PO=OC=

3

，PC=

6

，
在△PAC中，PA=AC=2，PC=

6

，边PC上的高AM=

PA2-PM2

=

10

2

，
所以△PAC的面积S△PAC=

1

2

PC•AM=

1

2

×

6

×

10

2

=

15

2

，
设点D到平面PAC的距离为h，
由V_D-PAC=V_P-ACD得

1

3

S△PAC•h=

1

3

S△ACD•PO，
又S△ACD=

3

4

×22=

3

，
所以

1

3

×

15

2

•h=

1

3

×

3

×

3

，
解得h=

2 15

5

，
所以点D到平面PAM的距离为

2 15

5

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查四点共面的判断与求法，考查点到平面的距离的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．