Question

设f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D中的任意两数x₁、x₂，恒有f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂），则称f（x）为定义在D上的C函数．
（1）证明函数f1(x)=x2是定义域上的C函数；
（2）判断函数f2(x)=

1

x

(x＜0)是否为定义域上的C函数，请说明理由；
（3）若f（x）是定义域为R的函数，且最小正周期为T，试证明f（x）不是R上的C函数．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：函数的性质及应用

分析：（1）对任意实数x₁，x₂及α∈（0，1），证得f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂），结合C函数的定义，可得结论；
（2）取x₁=-3，x₂=-1，α=

1

2

，由此时f（αx₁+（1-α）x₂）＞αf（x₁）+（1-α）f（x₂），可得：f2(x)=

1

x

(x＜0)不是C函数；                            
（3）假设f（x）是R上的C函数，若存在m＜n且m，n∈[0，T），使得f（m）≠f（n）．可得f（x）在R上是常数函数，这与f（x）的最小正周期为T矛盾，进而得到f（x）不是R上的C函数．

解答： 证明：（1）对任意实数x₁，x₂及α∈（0，1），
有f（αx₁+（1-α）x₂）-αf（x₁）-（1-α）f（x₂）=(αx1+(1-α)x2)2-αx12-(1-α)x22
=-α(1-α)x12-α(1-α)x22+2α(1-α)x1x2=-α(1-α)(x1-x2)2≤0，
即f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂），
∴f1(x)=x2是C函数； 
（2）f2(x)=

1

x

(x＜0)不是C函数，
说明如下（举反例）：
取x₁=-3，x₂=-1，α=

1

2

，
则f（αx₁+（1-α）x₂）-αf（x₁）-（1-α）f（x₂）=f(-2)-

1

2

f(-3)-

1

2

f(-1)=-

1

2

+

1

6

+

1

2

＞0，
即f（αx₁+（1-α）x₂）＞αf（x₁）+（1-α）f（x₂），
∴f2(x)=

1

x

(x＜0)不是C函数；
（3）假设f（x）是R上的C函数，
若存在m＜n且m，n∈[0，T），使得f（m）≠f（n）．
（i）若f（m）＜f（n），
记x₁=m，x₂=m+T，α=1-

n-m

T

，则0＜α＜1，且n=αx₁+（1-α）x₂，
那么f（n）=f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂）=αf（m）+（1-α）f（m+T）=f（m），
这与f（m）＜f（n）矛盾；                                               
（ii）若f（m）＞f（n），
记x₁=n，x₂=n-T，α=1-

n-m

T

，同理也可得到矛盾；                
∴f（x）在[0，T）上是常数函数，
又因为f（x）是周期为T的函数，
所以f（x）在R上是常数函数，这与f（x）的最小正周期为T矛盾．
所以f（x）不是R上的C函数．

点评：本题考查函数的概念与最值及数列的求和，难点在于对C函数的理解，属于难题．