Question

（2012•湖北模拟）函数f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，其中a为正常数，且函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行．
（1）求a的值；
（2）若存在x使不等式

x-m

f(x)

＞

x

成立，求实数m的取值范围；
（3）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域中的任意实数x₀，我们把|f（x₀）-g（x₀）|的值称为两函数在x₀处的偏差．求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，我们可以求出函数y=f（x）的图象与Y轴的交点和y=g（x）的图象与X轴交点的坐标，求出两个函数的导函数后，根据函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行，即两函数在交点处的导数值相等，构造关于a的方程，解方程即可求出答案．
（2）由（1）中结论，我们可将不等式

x-m

f(x)

＞

x

化为m＜x-ex

x

，若存在x使不等式

x-m

f(x)

＞

x

成立，则m小于x-ex

x

在[0，+∞）上的最大值，构造函数h（x）=x-ex

x

，并求出其在[0，+∞）上的最大值，即可得到答案．
（3）构造函数h（x）=e^x-lnx，并根据导数当分析函数的单调性，然后分x≥1时和0＜x＜1时，两种情况分别确定函数在x₀处的偏差的取值范围，即可得到答案．

解答：解：（1）∵f（x）=ae^x，
∴f′（x）=ae^x，
函数f（x）=ae^x只于Y轴交于（0，a）
且f′（0）=a
又∵g（x）=lnx-lna，
∴g′（x）=

1

x

，
又∵函数g（x）=lnx-lna只于X轴交于（a，0）点
∴g′（a）=

1

a

又∵函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行
∴a=1
(2)分离m后得m＜x-ex

x

在[0，+∞)上有解，
∴m＜(x-ex

x

)max
构造函数h(x)=x-ex

x

(x∈[0，+∞))
则h，(x)=1-ex(

x

+

1

2 x

)
∵x∈（0，+∞）时，e^x＞1

x

+

1

2 x

≥2

x • 1 2 x

=

2

∴h，（x）＜0，h（x）在[0，+∞）上单调递减
∴h（x）_max=h（0）=0
∴m＜0
（3）设h（x）=e^x-lnx，h′(x)=ex-

1

x

（i）当x≥1时，h'（x）＞0，有h（x）≥h（1）=e＞2
（ii）当0＜x＜1时，设ex0=

1

x0

，则x₀+lnx₀=0[
此时h(x)≥h(x0)=ex0-lnx0=

1

x0

+x0＞2
所以综上有函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．

点评：本题考查的知识点是函数与方程的综合应用，直线平行与斜率的关系，导数法求直线的斜率，函数恒成立问题，其中（1）的关键是根据函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行，确定出两函数在与坐标轴交点处导数值相等；（2）的关键是根据函数恒成立条件将问题转化为求函数的最值，（3）的关键是构造函数h（x）=e^x-lnx，并根据导数当分析函数的单调性，进行确定分类标准．