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(江苏卷18)设平面直角坐标系中,设二次函数的图象与坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C。

求实数的取值范围;

求圆的方程;问圆是否经过某定点(其坐标与无关)?请证明你的结论

解:本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法.

(Ⅰ)令=0,得抛物线与轴交点是(0,b);

,由题意b≠0 且Δ>0,解得b<1 且b≠0.

(Ⅱ)设所求圆的一般方程为

=0 得这与=0 是同一个方程,故D=2,F=

=0 得=0,此方程有一个根为b,代入得出E=―b―1.

所以圆C 的方程为.

(Ⅲ)圆C 必过定点,证明如下:

假设圆C过定点 ,将该点的坐标代入圆C的方程,

并变形为         (*)

为使(*)式对所有满足都成立,必须有

结合(*)式得

,解得

经检验知,点均在圆C上,因此圆C 过定点。

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(2009江苏卷18)(本小题满分16分)

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