Question

4．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（3）=0，当x＜0时，xf′（x）+f（x）＞0，则有（　　）

• A． f（-3）＜f（1）＜f（2）
• B． f（2）＜f（-3）＜f（1）
• C． f（1）＜f（-3）＜f（2）
• D． f（-3）＜f（2）＜f（1）

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性和条件，判断函数F（x）=xf（x）的单调性，进而分析出f（2），f（-3），f（1）的大小关系，可得答案．

解答 解：∵f（x）是奇函数，f′（x）为偶函数，
令F（x）=xf（x），则F（x）为偶函数，
F′（x）=xf′（x）+f（x），
∵x＜0时，xf′（x）+f（x）＞0，
∴当x∈（-∞，0]时，函数F（x）为增函数，
当x∈[0，+∞）时，函数F（x）为减函数，
又由f（3）=0，
∴f（-3）=0，F（3）=0，
∴F（2）=2f（2）＞0，
F（1）＞F（2）＞0，
即f（1）＞2f（2）＞0，
故f（-3）＜f（2）＜f（1），
故选：D

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，导数符号与原函数单调性的关系，难度中档．