Question

已知⊙O：x²+y²=1和点M（4，2）．
（Ⅰ）过点M向⊙O引切线l，求直线l的方程；
（Ⅱ）求以点M为圆心，且被直线y=2x-1截得的弦长为4的⊙M的方程；
（Ⅲ）设P为（Ⅱ）中⊙M上任一点，过点P向⊙O引切线，切点为Q．试探究：平面内是否存在一定点R，使得

PQ

PR

为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）找出圆的圆心坐标和半径，设切线方程的斜率为k，由M的坐标和k写出切线l的方程，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d让d等于半径r得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，写出直线l的方程即可；
（Ⅱ）根据点到直线的距离公式求出M到已知直线的距离d，然后利用勾股定理即可求出圆M的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可；
（Ⅲ）假设存在这样的R点，设出R的坐标，并设出P的坐标，根据圆的切线垂直于过切点的半径得到三角形OPQ为直角三角形，根据勾股定理表示出PQ的长，然后利用两点间的距离公式表示出PR的长，设PQ与PR之比等于λ，把PQ和PR的式子代入后两边平方化简得到一个关系式记作（*），又因为P在⊙M上，所以把P的坐标当然到⊙M的方程中，化简后代入到（*）中，根据多项式对应项的系数相等即可求出R的坐标和λ的值．

解答：解：（Ⅰ）由⊙O：x²+y²=1得到圆心O（0，0）半径r=1，
设切线l方程为y-2=k（x-4），
易得

|4k-2|

k2+1

=1，解得k=

8± 19

15

，
∴切线l方程为y-2=

8± 19

15

(x-4)；
（Ⅱ）圆心M到直线y=2x-1的距离d=

|5|

1+4

=

5

，
设圆的半径为r，则r2=22+(

5

)2=9，
∴⊙M的方程为（x-4）²+（y-2）²=9；

（Ⅲ）假设存在这样的点R（a，b），点P的坐标为（x，y），相应的定值为λ，
根据题意可得PQ=

x2+y2-1

，
∴

x2+y2-1

(x-a)2+(y-b)2

=λ，
即x²+y²-1=λ²（x²+y²-2ax-2by+a²+b²）（*），
又点P在圆上∴（x-4）²+（y-2）²=9，
即x²+y²=8x+4y-11，代入（*）式得：
8x+4y-12=λ²[（8-2a）x+（4-2b）y+（a²+b²-11）]，
若系数对应相等，则等式恒成立，∴

λ2(8-2a)=8 λ2(4-2b)=4 λ2(a2+b2-11)=-12

，
解得a=2，b=1，λ=

2

或a=

2

5

，b=

1

5

，λ=

10

3

，
∴可以找到这样的定点R，使得

PQ

PR

为定值．
如点R的坐标为（2，1）时，比值为

2

；点R的坐标为(

2

5

，

1

5

)时，比值为

10

3

．

点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值，会根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程，是一道综合题．