Question

已知点F（0，1），直线l：y=-2．
（1）若动点M到点F的距离比它到直线l的距离小1，求动点M的轨迹E的方程；
（2）过轨迹E上一点P作圆C：x²+（y-3）²=1的切线，切点分别为A、B，求四边形PACB的面积S的最小值和此时P的坐标．

Answer 1

分析：（1）直接代入距离公式来求动点M轨迹E的方程即可（注意讨论）．
（2）先利用图象和已知条件把S转化为求|AP|问题，然后在△PAC中借助于点P在E上求出|AP|的最小值即可．

解答：解：（1）：设动点M（x，y）．
由题设条件可知

x2+(y-1)2

-|y+2|=-1，即

x2+(y-1)2

=|y+2|-1
①当y+2≥0时，即y≥-2时，有

x2+(y-1)2

=(y+2)-1
两端平方并整理得 y=

1

4

x2
②当y+2＜0即y＜-2时有

x2+(y-1)2

=-(y+2)-1
两端平方并整理得 y=-

1

8

x2-1
∵x²＞0∴y=-

1

8

x2-1＞-1
这与y＜-2矛盾．
综合①②知轨迹E的方程为 y=

1

4

x2
（2）连PC，不难发现S=S_△PAC+S_△PBC=2S_△PAC
∵CA⊥PA且|AC|=1∴S=2•

1

2

•|AP|•|AC|
即S=|AP||
设P（x₀，y₀）于是，|AP|²+|AC|²=|PC|²=x₀²+（y₀-3）²
即 |AP|=

4y0+ y 2 0 -6y0+8

．又

x

2 0

=4y0
∴|AP|2=

4y0+ y 2 0 -6y0+8

=

(y 0-1)2+7

≥

7

当且仅当y₀=1时“=”成立，此时x₀=±2
所以四边形PACB存在最小值，最小值是

7

，此时P点坐标是（±2，1）

点评：本题以轨迹方程为载体，考查到求动点M的轨迹E的方程问题．在做这一类型题时，关键是找到关于动点M的等式．