Question

9．已知动圆过定点F（1，0）且与定直线l：x=-1相切．
（1）求动圆圆心C的轨迹方程；
（2）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A、B的任意一条直线，都有$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知可得圆心C的轨迹是以F为焦点，以l为准线的抛物线，进而得到答案．
（2）首先由于过点M（m，0）的直线与开口向右的抛物线有两个交点A、B，则设该直线的方程为x=ty+m（包括无斜率的直线）；然后与抛物线方程联立方程组，进而通过消元转化为一元二次方程；再根据韦达定理及向量的数量积公式，实现$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$＜0的等价转化；最后通过m、t的不等式求出m的取值范围

解答 解：（1）∵动圆过定点F（1，0）且与定直线l：x=-1相切．
故圆心到点F（1，0）和直线l：x=-1的距离相等，
故圆心C的轨迹是以F为焦点，以l为准线的抛物线，
故动圆圆心C的轨迹方程这y²=4x；
（2）设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
设l的方程为x=ty+m，由$\left\{\begin{array}{l}x=ty+m\\{y}^{2}=4x\end{array}\right.$得y²-4ty-4m=0，△=16（t²+m）＞0，
于是y₁+y₂=4t，y₁•y₂=-4m，①
又$\overrightarrow{FA}$=（x₁-1，y₁），$\overrightarrow{FB}$=（x₂-1，y₂），
∵$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$＜0?（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂＜0②
又x=$\frac{1}{4}$y²，于是不等式②等价于$\frac{1}{4}$y₁²•$\frac{1}{4}$y₂²+y₁y₂-（$\frac{1}{4}$y₁²+$\frac{1}{4}$y₂²）+1＜0
由①式，不等式③等价于m²-6m+1＜4t²④
对任意实数t，4t²的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m²-6m+1＜0，
解得3-2$\sqrt{2}$＜m＜3+2$\sqrt{2}$，
由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有有$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$＜0，
则m的取值范围是（3-2$\sqrt{2}$，3+2$\sqrt{2}$）

点评 本题着重考查了一元二次方程根与系数的关系、直线与抛物线的位置关系和向量数量积运算等知识，同时考查了逻辑思维能力、计算能力和转化化归的数学思想等知识，属于中档题．