Question

选做题：考生在下面两小题中，任选一道作答，如果全做则按第1小题评分．
（1）《几何证明选讲》选做题
如图，半径分别为a和3a的圆O₁与圆O₂外切于T，自圆O₂上一点P引圆O₁的切线，切点为Q，若PQ=2a，则PT=

2 6

3

a

．
（2）《坐标系与参数方程》选做题
从极点O作射线交直线ρcosθ=3于点M，P为线段OM上的点，且|OM|•|OP|=12，则P点轨迹的极坐标方程为

p=4cosθ

．

Answer 1

分析：（1）如图根据自圆O₂上一点P引圆O₁的切线，切点为Q，得到PQ⊥QO₁，利用勾股定理得PO₁的长，再在三角形PO₁O₂中，由余弦定理得cos∠PO₁O₂，最后在三角形PO₁T中，再次利用余弦定理即可求出PT．
（2）设动点P的坐标为（ρ，θ），M的坐标为（ρ₀，θ），则ρρ₀=12，由ρ₀cosθ=3，得到ρ=4cosθ即为所求；

解答：解：（1）如图，∵自圆O₂上一点P引圆O₁的切线，切点为Q，
∴PQ⊥QO₁，
∴PO₁=

PQ2+Q O  2 1

=

4a2+a2

=

5

a，
在三角形PO₁O₂中，由余弦定理得：
cos∠PO₁O₂=

( 5 a)2+(3a)2-(4a)2

2× 5 a×3a

=

5

3

，
所以在三角形PO₁T中，
PT=

( 5 a)2+a2-2× 5 a×a× 5 3

=

2 6

3

a，
故答案为：

2 6

3

a．
（2）设动点P的坐标为（ρ，θ），M的坐标为（ρ₀，θ），
则ρρ₀=12．
∵ρ₀cosθ=3，
∴ρ=4cosθ，即为所求的轨迹方程．
故答案为：ρ=4cosθ．

点评：（1）本题主要考查了圆的切线的性质、与圆有关的线段及解三角形的有关知识，属于基础题．
（2）考查简单曲线的极坐标方程和解决数学问题的能力，以及会求简单轨迹的极坐标方程．