Question

6．已知点A是抛物线C：x²=2py（p＞0）上一点，O为坐标原点，若A，B是以点M（0，9）为圆心，|OA|的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点，且△ABO为等边三角形，则p的值是$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由题意，|MA|=|OA|，可得A的纵坐标，利用△ABO为等边三角形，求出A的横坐标，根据点A是抛物线C：x²=2py（p＞0）上一点，即可求出p的值．

解答 解：由题意，|MA|=|OA|，∴A的纵坐标为4.5，
∵△ABO为等边三角形，
∴A的横坐标为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵点A是抛物线C：x²=2py（p＞0）上一点，
∴$\frac{27}{4}$=2p×$\frac{9}{2}$
∴p=$\frac{3}{4}$．
故答案为$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查抛物线的方程，考查抛物线与圆的综合，考查学生的计算能力，比较基础．