Question

19．已知椭圆G的中心在平面直角坐标系的原点，离心率$e=\frac{1}{2}$，右焦点与圆C：x²+y²-2x-3=0的圆心重合．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）设F₁、F₂是椭圆G的左焦点和右焦点，过F₂的直线l：x=my+1与椭圆G相交于A、B两点，请问△ABF₁的内切圆M的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圆的方程求出圆心坐标，可得椭圆半焦距c，结合离心率求得a，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）画出图形，由题意可得，当${S_{△AB{F_1}}}$最大时，△ABF₁内切圆的面积也最大，联立直线方程和椭圆方程，求出A，B的坐标，代入三角形面积公式，然后利用换元法结合基本不等式求得最值．

解答 解：（Ⅰ）圆C：x²+y²-2x-3=0的圆心为（1，0）．
设椭圆G的方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，
则$c=1，e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得a=2．
∴b²=a²-c²=2²-1=3，
∴椭圆G的方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（Ⅱ）如图，设△ABF₁内切圆M的半径为r，与直线l的切点为C，
则三角形△ABF₁的面积等于△ABM的面积+△AF₁M的面积+△BF₁M的面积．
即${S_{△AB{F_1}}}=\frac{1}{2}（|{AB}|+|{A{F_2}}|+|{B{F_2}}|）r$=$\frac{1}{2}[（|{A{F_1}}|+|{A{F_2}}|）+（|{B{F_1}}|+|{B{F_2}}|）]r=2ar=4r$．
当${S_{△AB{F_1}}}$最大时，r也最大，△ABF₁内切圆的面积也最大．
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（y₁＞0，y₂＜0），
则${S_{△AB{F_1}}}=\frac{1}{2}|{{F_1}{F_2}}|•|{y_1}|+\frac{1}{2}|{{F_1}{F_2}}|•|{y_2}|={y_1}-{y_2}$．
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
解得${y_1}=\frac{{-3m+6\sqrt{{m^2}+1}}}{{3{m^2}+4}}$，${y_2}=\frac{{-3m-6\sqrt{{m^2}+1}}}{{3{m^2}+4}}$．
∴${S_{△AB{F_1}}}=\frac{{12\sqrt{{m^2}+1}}}{{3{m^2}+4}}$．    
令$t=\sqrt{{m^2}+1}$，则t≥1，且m²=t²-1，
有${S_{△AB{F_1}}}=\frac{12t}{{3（{t^2}-1）+4}}=\frac{12t}{{3{t^2}+1}}=\frac{12}{{3t+\frac{1}{t}}}$．
令$f（t）=3t+\frac{1}{t}$，由f（t）在[1，+∞）上单调递增，得f（t）≥f（1）=4．
∴${S_{△AB{F_1}}}≤\frac{12}{4}=3$．即当t=1，m=0时，4r有最大值3，得${r_{max}}=\frac{3}{4}$，这时所求内切圆的面积为$\frac{9}{16}π$．
∴存在直线l：x=1，△ABF₁的内切圆M的面积最大值为$\frac{9}{16}π$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法和基本不等式求最值，是中档题．