Question

14．如图，已知等边△ABC中，E，F分别为AB，AC边的中点，M为EF的中点，N为BC边上一点，且CN=$\frac{1}{4}$BC，将△AEF沿EF折到△A'EF的位置，使平面A'EF⊥平面EFCB．
（Ⅰ）求证：平面A'MN⊥平面A'BF；
（Ⅱ）设BF∩MN=G，求三棱锥A'-BGN的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明A'M⊥EF，推出A'M⊥平面EFCB，得到A'M⊥BF，证明BF⊥MN．得到BF⊥平面A'MN．然后证明平面A'MN⊥平面A'BF．
（Ⅱ）s说明A'M为三棱锥A'-BGN底面上的高．求出${S_{△BGN}}=\frac{1}{2}BG•NG=\frac{1}{2}×\frac{{3\sqrt{3}}}{2}×\frac{3}{2}=\frac{{9\sqrt{3}}}{8}$，然后求解棱锥的体积．

解答 解：（Ⅰ）证明：因为E，F为等边△ABC的AB，AC边的中点，
所以△A'EF是等边三角形，且EF∥BC．
因为M是EF的中点，所以A'M⊥EF．…（1分）
又由于平面A'EF⊥平面EFCB，A'M?平面A'EF，所以A'M⊥平面EFCB．…（2分）
又BF?平面EFCB，所以A'M⊥BF．…（3分）
因为$CN=\frac{1}{4}BC$，所以$MF\underline{\underline{∥}}CN$，所以MN∥CF．…^…（4分）
在正△ABC中知BF⊥CF，所以BF⊥MN．
而A'M∩MN=M，所以BF⊥平面A'MN．…（5分）
又因为BF?平面A'BF，所以平面A'MN⊥平面A'BF．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A'M⊥平面EFCB，所以A'M为三棱锥A'-BGN底面上的高．
根据正三角形的边长为4，知△AE'F是边长为2的等边三角形，所以$A'M=\sqrt{3}$．
易知$GN=\frac{3}{4}CF=\frac{3}{2}$，$BN=\frac{3}{4}BC=3$．…（8分）
又由（Ⅰ）知BF⊥MN，所以$BG=\sqrt{B{N^2}-N{G^2}}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，
所以${S_{△BGN}}=\frac{1}{2}BG•NG=\frac{1}{2}×\frac{{3\sqrt{3}}}{2}×\frac{3}{2}=\frac{{9\sqrt{3}}}{8}$，…（10分）
所以${V_{A'-BGN}}=\frac{1}{3}{S_{△BGN}}•A'M=\frac{1}{3}×\frac{{9\sqrt{3}}}{8}×\sqrt{3}=\frac{9}{8}$．…（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．