Question

【题目】若数列满足：对于任意的正整数，，，且，则称该数列为“跳级数列”.

（1）若数列为“跳级数列”，且，求、的值；

（2）若数列为“跳级数列”，则对于任意一个大于的质数，在数列中总有一项是的倍数；

（3）若为奇质数，则存在一个“跳级数列”，使得数列中每一项都不是的倍数.

Answer 1

【答案】（1），；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】

（1）根据题中定义求出的值，再由以及可求出的值，求出，，结合，以及可得出的值；

（2）根据“跳级数列”的定义得出为正整数，并记，可得出，并记，则存在使得，利用可得知、、、、、除以所得余数互不相同，由此可知、、、、、中必存在一项为的倍数；

（3）对于正整数，设为非负整数，且满足，根据定义得出，然后取数列满足条件.

（1）由“跳级数列”的定义可得，且以及，，

，，

由题意可得，且，因此，；

（2）数列为“跳级数列”，，为正整数，

记，

可知，且，记，

对于质数，必存在，使得，反复应用，

得，

另一方面，因为对于满足的任意，均有.

所以对于所有，都有（利用迭加）.

这表明，数列、、、、、是以为公差的等差数列.

假设对于整数对，均有是质数的整数倍，

即必为的整数倍，，且同时成立，知这与为质数矛盾.

由此可知，、、、、、除以所得余数互不相同.

（构造一个的完全剩余系）所以必有一个是的倍数；

（3）对于正整数，设为非负整数，且满足，

则，即.

根据定义有，由，且，

令，则，

则显然为“跳级数列”，又为奇质数，于是，不为的倍数，因此也不为的倍数.