Question

【题目】已知数列{an}是以d为公差的等差数列，{bn}数列是以q为公比的等比数列．

（1）若数列{bn}的前n项和为Sn，且a1＝b1＝d＝2，S3＜a1003+5b2﹣2010，求整数q的值；

（2）在（1）的条件下，试问数列中是否存在一项bk，使得bk恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和？请说明理由；

（3）若b1＝ar，b2＝as≠ar，b3＝at（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），求证：数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）不存在；（3）详见解析.

【解析】

（1）先求an＝2n，利用等比数列得的不等式求解即可；（2）反证法推得矛盾即可；（3）由b1＝ar，得，进而得q是整数，且q≥2，再证明对于数列中任一项bi （i＞3）一定是数列{an}的项即可

（1）由题意知，an＝2n，bn＝2qn﹣1，所以由S3＜a1003+5b2﹣2010，

可得到b1+b2+b3＜a1003+5b2﹣2010b1﹣4b2+b3＜2006﹣2010q2﹣4q+3＜0．

解得1＜q＜3，又q为整数，所以q＝2；

（2）假设数列{bn}中存在一项bk，满足bk＝bm+bm+1+bm+2++bm+p﹣1，

因为bn＝2n，∴bk＞bm+p﹣12k＞2m+p﹣1k＞m+p﹣1k≥m+p（*）

又

＝2m+p﹣2m＜2m+p，所以k＜m+p，此与（*）式矛盾．

所以，这样的项bk不存在；

（3）由b1＝ar，得b2＝b1q＝arq＝as＝ar+（s﹣r）d，

则

又，

从而，

因为as≠arb1≠b2，所以q≠1，又ar≠0，

故．又t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数，

所以q是整数，且q≥2，

对于数列中任一项bi（这里只要讨论i＞3的情形），

有bi＝arqi﹣1＝ar+ar（qi﹣1﹣1）

＝ar+ar（q﹣1）（1+q+q2+ +qi﹣2）

＝ar+d（s﹣r）（1+q+q2+ +qi﹣2）

＝ar+[（（s﹣r）（1+q+q2+ +qi﹣2）+1）﹣1]d，

由于（s﹣r）（1+q+q2+ +qi﹣2）+1是正整数，所以bi一定是数列{an}的项．

故得证．