Question

平面向量

a

，

b

中，|

a

|≠0，

b

=t

a

（t∈R）．对于使命题“?t＞1，|

c

-

b

|≥|

c

-

a

|”为真的非零向量

c

，给出下列命题：
①?t＞1，（

c

-

a

）•（ 

b

-

a

）≤0；    ②?t＞1，（ 

c

-

a

）•（

b

-

a

）＞0；
③?t∈R，（

c

-

a

）•（ 

c

-

b

）＜0；   ④?t∈R，（

c

-

a

）•（

c

-

b

）＜0．
则以上四个命题中的真命题是（　　）

• A、①④
• B、②③
• C、①②④
• D、①③④

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：阅读型,平面向量及应用,简易逻辑

分析：运用排除法，由①②互为否定关系，必然一真一假，排除选项C．③④为包含关系，③真，④必为真，只能选D，若③假，只能选A，故只需探讨③的真假，特殊化取

a

=（1，0），则

b

=（t，0），设

c

=（x，y），运用向量的模的公式和不等式恒成立，求得x≤1．即可判断③假．进而得到答案．

解答： 解：由①②互为否定关系，必然一真一假，排除选项C．
③④为包含关系，③真，④必为真，只能选D，若③假，只能选A，
故只需探讨③的真假，特殊化取

a

=（1，0），则

b

=（t，0），设

c

=（x，y），
由|

c

-

b

|≥|

c

-

a

|得（x-t）²+y²≥（x-1）²+y²，化简得x≤

t+1

2

（t＞1），
由t＞1得

t+1

2

＞1，则命题“?t＞1，|

c

-

b

|≥|

c

-

a

|”等价于x≤1．
由于（

c

-

a

）•（

c

-

b

）=（x-1）（t-1）+y²且y，x，t是独立变量，则有③假．
故选A．

点评：本题考查简易逻辑的知识，主要考查不等式的恒成立思想转化为求最值问题，运用排除法和命题之间的关系是解题的关键．