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(2012•南宁模拟)已知函数f(x)=lnx+ax2-3x,且在x=1时函数f(x)取得极值.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若g(x)=x2-2x-1(x>0),
①证明:当x>1时,g(x)的图象恒在f(x)的上方;
②证明不等式(2n+1)2>4ln(n!)恒成立.(注:(n!=1×2×3×…×n))
分析:(I)先求函数的定义域,然后根据在x=1时函数f(x)取得极值求出a的值,最后根据f′(x)<0可求出函数的减区间,f′(x)>0可求出函数的增区间;
(II)①设F(x)=f(x)-g(x),利用导数研究函数F(x)的最大值,从而可判定F(x)的符号,即可证得g(x)的图象恒在f(x)图象的上方;
②由①可知,lnx-x+1≤0,可得lnx<x恒成立,从而有ln1<1,ln2<2,ln3<3,…,lnn<n,累加可得ln(1×2×3×…×n)=lnn!<
n(n+1)
2
,然后利用放缩法可证得结论.
解答:解:(I)由题可知,函数的定义域为{x|x>0},
f′(x)=
1
x
+2ax-3=
2ax2-3x+1
x

∵x=1处函数f(x)取得极值
∴f′(1)=0,即2a-3+1=0,解得a=1
即f′(x)=
(2x-1)(x-1)
x

当x∈(0,
1
2
)时,f′(x)>0,当x∈(
1
2
,1)时,f′(x)<0,当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0
∴函数f(x)的单调增区间为(0,
1
2
),(1,+∞),函数f(x)的单调减区间为(
1
2
,1)
(II)①设F(x)=f(x)-g(x)=lnx-x+1,F′(x)=
1
x
-1=
1-x
x

∵当x∈(0,1)时,F′(x)>0,当x∈(1,+∞)时,F′(x)<0
∴F(x)≤F(1)=0即f(x)<g(x)恒成立,从而g(x)的图象恒在f(x)图象的上方
②由①可知,lnx-x+1≤0,即lnx≤x-1∴lnx<x恒成立
从而有ln1<1,ln2<2,ln3<3,…,lnn<n,
累加得ln1+ln2+ln3+…+lnn<1+2+3+…+n
即ln(1×2×3×…×n)=lnn!<
n(n+1)
2

n(n+1)
2
<(
n+n+1
2
)
2

(2n+1)2
4
>ln(n!)
即(2n+1)2>4ln(n!)
点评:本题主要考查了函数的单调性和恒成立问题以及不等式的证明,同时考查了计算能力,属于中档题.
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