Question

19．已知数列{a_n}中，a₁=2，${a_{n+1}}=（1+\frac{1}{n}）{a_n}$，则{a_n}的通项公式为a_n=2n．

Answer 1

分析 通过对${a_{n+1}}=（1+\frac{1}{n}）{a_n}$变形可知$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n-1}$、…、$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{1}$，累乘、计算即得结论．

解答 解：∵${a_{n+1}}=（1+\frac{1}{n}）{a_n}$=$\frac{n+1}{n}$•a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，
$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n-1}$，
…
$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{1}$，
累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=n，
∴a_n=na₁=2n，
又∵当n=1时满足上式，
∴{a_n}的通项公式a_n=2n，
故答案为：a_n=2n．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．