Question

已知数列{a_n}为等差数列，其前n项和为S_n，且a₅=8，S₅=20．
（1）求S_n；
（2）若对任意n＞t，n∈N^*，都有

1

S1+2a1+6

+

1

S2+2a2+6

+…+

1

Sn+2an+6

＞

12

25

，求t的最小值．

Answer 1

分析：（1）等差数列{a_n}，a₅=8，S₅=20，用a₁和a₅分别表示S₅，解此方程组即可求得a₁和d，从而求出S_n；
（2）先化简

1

Sn+2an+6

=

1

n+1

-

1

n+2

，再利用拆项法求和，结合放缩法解不等式

1

S1+2a1+6

+

1

S2+2a2+6

+…+

1

Sn+2an+6

＞

12

25

即可求出t的最小值．

解答：解：（1）由题意得：S5=

(a1+a5)×5

2

=20=

(a1+8)×5

2

，
解得a₁=0，
又d=（a₅-a₁）÷（5-1）=8÷4=2，a_n=（n-1）×2=2n-2，
∴S_n=

(2n-2)n

2

=n2-n．
（2）
∵

1

Sn+2an+6

=

1

n2-n+2(2n-2)+6

=

1

n2+3n+2

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

∴

1

S1+2a1+6

+

1

S2+2a2+6

+…+

1

Sn+2an+6

=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)
=

1

2

-

1

n+2

＞

12

25

，

1

n+2

＜

1

2

-

12

25

=

1

50

，
∴n+2＞50，n＞48，
∴t的最小值为48．

点评：本题考查等差数列通项公式和前n项和的最值问题、数列与不等式的综合，考查运算能力，属中档题．