Question

如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是正三角形，点M、N分别是B₁C₁和A₁B₁的中点，AA₁=AB=BM=2，∠A₁AB=60°．
（Ⅰ）求证：BN⊥平面A₁B₁C₁；
（Ⅱ）求二面角A₁-AB-M的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）证明BN⊥平面A₁B₁C₁，只需证明BN⊥A₁B₁，BN⊥MN，
（Ⅱ）建立坐标系，求出平面ABA₁的一个法向量、平面MAB的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A₁-AB-M的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：连接MN，A₁B，
∵侧面是ABB₁A₁菱形，且∠A₁AB=60°，
∴△A₁BB₁为正三角形．
∵N是A₁B₁的中点，
∴BN⊥A₁B₁，
∵AA₁=AB=BM=2，
∴BN=

3

，MN=1，
∴BN²+MN²=BM²，
∴BN⊥MN，
∵A₁B₁∩MN=N，
∴BN⊥平面A₁B₁C₁；
（Ⅱ）解：取AB的中点E，连接A₁E，则A₁E∥BN，由（Ⅰ）知A₁E⊥平面ABC，
以E为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则E（0，0，0），A（-1，0，0），B（1，0，0），C（0，

3

，0），A（0，0，

3

），B₁（2，0，

3

），
设M（x，y，z），由

B1M

=

1

2

BC

得x=

3

2

，y=

3

2

，z=

3

，
∴M（

3

2

，

3

2

，

3

），
∴

EM

=（

3

2

，

3

2

，

3

），

BM

=（

1

2

，

3

2

，

3

），
平面ABA₁的一个法向量为

n1

=（0，1，0）．
设平面MAB的法向量

n2

=（x，y，z），则

3 2 x+ 3 2 y+ 3 z=0 1 2 x+ 3 2 y+ 3 z=0

，
∴

n2

=（0，-2，1），
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

2 5

5

，
∴二面角A₁-AB-M的余弦值为

2 5

5

．

点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查向量法的运用，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．