Question

如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．
（1）建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；
（2）为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．

Answer 1

解：（1）以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，
以1m为单位长度建立直角坐标系．
则E（-3，0），F（3，0），M（0，3），
由于所求圆的圆心在y轴上，所以设圆的方程为（x-0）²+（y-b）²=r²，
因为F，M在圆上，所以，
解得b=-3，r²=36．
所以圆的方程为x²+（y+3）²=36．
（2）设限高为h，作CP⊥AD，交圆弧于点P，则|CP|=h+0.5，
将P的横坐标x=代入圆的方程，
得，
得y=2或y=-8（舍），
所以h=|CP|-0.5=（y+|DF|）-0.5=（2+2）-0.5=3.5（m）．
答：车辆通过隧道的限制高度是3.5米．
分析：（1）以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，以1m为单位长度建立直角坐标系．设圆的方程为（x-0）²+（y-b）²=r²，通过F，M在圆上，求出变量的值，得到圆的方程．
（2）设限高为h，作CP⊥AD，交圆弧于点P，则|CP|=h+0.5，将P的横坐标x=代入圆的方程，求出y，然后求出限高．
点评：本题考查圆的方程的求法以及圆的方程的应用，考查计算能力．