Question

【题目】如图，在菱形中，，，对角线与交于点，点，分别在，上，满足，交于点.将沿折到的位置， .

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求与平面所成的角的正弦值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)详见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）证明及，从而证明平面，问题得证。

（Ⅱ）以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系.求出平面的一个法向量，与所成角的余弦值的绝对值就是与平面所成的角的正弦值.再利用向量夹角公式即可求解。

（Ⅰ）证明：由菱形性质得， ，由勾股定理可得，又已知，可得.因此，从而，由得，，又，所以有，即，所以平面，所以得证.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，直线，，两两相互垂直，如图，以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系.

则，，，，，，，，设是平面的一个法向量，则即 解得，，所以可取.设与平面所成的角为，则 .