Question

设满足条件P：的数列组成的集合为A，而满足条件Q：的数列组成的集合为B．
（1）判断数列{a_n}：a_n=1-2n和数列{b_n}：是否为集合A或B中的元素？
（2）已知数列，研究{a_n}是否为集合A或B中的元素；若是，求出实数k的取值范围；若不是，请说明理由．
（3）已，若{a_n}为集合B中的元素，求满足不等式|2n-a_n|＜60的n的值组成的集合．

Answer 1

解：（1）∵a_n=1-2n
∴a_n+a_n+2=（1-2n）+[1-2（n+2）]=-4n-2，2a_n+1=2[1-2（n+1）]=-4n-2
∴
∴{a_n}为集合A中的元素，即{a_n}∈A．…（2分）
，
∴b_n+b_n+2＜2b_n+1
∴{b_n}为集合B中的元素，即{b_n}∈B．…（4分）
（2）a_n+a_n+2-2a_n+1=（n-k）³+（n+2-k）³-2（n+1-k）³=6（n+1-k），
当k≤2时，a_n+a_n+2≥2a_n+1对n∈N^*恒成立，此时，{a_n}∈A；…（7分）
当k＞2时，令n=1，n+1-k＜0，a_n+a_n+2＜2a_n+1；
设[k]为不超过k的最大整数，令n=[k]+1，n+1-k＞0，a_n+a_n+2＞2a_n+1，此时，{a_n}∉A，{a_n}∉B．…（10分）
（3）|2n-a_n|=|2n-31log₂n|＜60，令c_n=2n-31log₂n，
c_n+1-c_n=2-31log₂＞0，即n＞21.8；
当n≥22时，c_n+1＞c_n，于是c₂₂＜c₂₃＜…，
当n＜21时，c_n+1＜c_n，于是c₁＞c₂＞…＞c₂₂；…（13分）
∵|c₄|=|-54|＜60，|c₅|≈|-61.9|＞60，|c₆₂|≈|-60.6|＞60，|c₆₃|≈|-59.3|＜60，
|c₁₄₀|≈58.99＜60，|c₁₄₁|≈60.7＞60，
∴满足不等式|2n-a_n|＜60的n的值组成的集合为{c₁，c₂，c₃，c₄，c₆₃，c₆₄，…c₁₄₀}，共82项．…（16分）
分析：（1）根据a_n=1-2n，可得，从而可得{a_n}为集合A中的元素；同理可得b_n+b_n+2＜2b_n+1，故{b_n}为集合B中的元素；
（2）计算a_n+a_n+2-2a_n+1=6（n+1-k），分类讨论：当k≤2时，{a_n}∈A；设[k]为不超过k的最大整数，令n=[k]+1，n+1-k＞0，可得{a_n}∉A，{a_n}∉B；
（3）由|2n-a_n|=|2n-31log₂n|＜60，令c_n=2n-31log₂n，作差，可确定当n≥22时，c_n+1＞c_n，当n＜21时，c_n+1＜c_n，由此可得满足不等式|2n-a_n|＜60的n的值组成的集合．
点评：本题考查数列与不等式的综合，考查新定义，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是理解新定义，属于中档题．