Question

13．已知函数f（x）=-3x²+a（5-a）x+b，a，b∈R．
（1）若不等式f（x）＞0的解集为（-1，3），求实数a，b的值；
（2）若b为常数，解关于a的不等式f（1）＜0．

Answer 1

分析 （1）根据题意并结合一元二次不等式与一元二方程的关系，可得方程-3x²+a（5-a）x+b=0的两根分别为-1和3，由此建立关于a、b的方程组并解之，即可得到实数a、b的值；
（2）由f（1）＜0．得a²-5a-b+3＞0，根据△与0的关系，加以讨论，即可得到答案．

解答 （1）由题意知，-1和3是方程-3x²+a（5-a）x+b=0的两个根，…（3分）
∴$\left\{\begin{array}{l}{3+d（5-a）-b=0}\\{27-3a（5-a）-b=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=9}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=9}\end{array}\right.$．…（6分）
（2）由f（1）＜0，得a²-5a-b+3＞0，
△=（-5）²-4（-b+3）=13+4b，…（8分）
1⁰当△＜0即b＜-$\frac{13}{4}$时，a∈R，…（10分）
2⁰当△=0即b=-$\frac{13}{4}$时，解集为{a|a≠$\frac{5}{2}$，a∈R}}     …（12分）
3⁰当△＞0即b＞-$\frac{13}{4}$时，解集为{a＞$\frac{5+\sqrt{4b+13}}{2}$，或a＜$\frac{5-\sqrt{4b+13}}{2}$}} …（14分）

点评 本题给出二次函数，讨论不等式不等式f（x）＞0的解集并求参数的值，着重考查了一元二次不等式的应用、一元二次不等式与一元二方程的关系等知识，属于中档题