Question

【题目】已知函数f（x）=ex（x2+ax+a）（a∈R） （Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=﹣1，判断f（x）是否存在最小值，并说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R．f'（x）=ex[x2+（a+2）x+2a]=ex（x+2）（x+a） 令f'（x）=0，得x1=﹣2，x2=﹣a
当﹣a=﹣2，即a=2时，f'（x）≥0恒成立，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞），无单调减区间
当﹣a＜﹣2，即a＞2时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（﹣∞，﹣a）	﹣a	（﹣a，﹣2）	﹣2	（﹣2，+∞）
f'（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以，f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣a），（﹣2，+∞），单调减区间为（﹣a，﹣2）
当﹣a＞﹣2，即a＜2时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（﹣∞，﹣2）	﹣2	（﹣2，﹣a）	﹣a	（﹣a，+∞）
f'（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以，f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣2），（﹣a，+∞），单调减区间为（﹣2，﹣a）
（Ⅱ）f（x）有最小值，
∵a=﹣1，
∴f（x）=ex（x2﹣x﹣1）．
令f（x）=0得 ．
所以f（x）有两个零点．
当 或 时，f（x）＞0，
当 时，f（x）＜0，
由（Ⅰ）可知，f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）上单调增，在（﹣2，1）上单调减，
∴f（x）有最小值f（1）．
【解析】（Ⅰ）根据导数和函数的单调性的关系即可判断，需要分类讨论，（Ⅱ）根据导数和函数的最值得关系即可判断．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．