Question

【题目】已知数列{an}的首项a1=2，且an=2an﹣1﹣1（n∈N* ， N≥2）
（1）求证：数列{an﹣1}为等比数列；并求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{nan﹣n}的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由an=2an﹣1﹣1，得an﹣1=2（an﹣1﹣1），

∴数列{an﹣1}构成首项为a1﹣1=1，公比q=2的等比数列，

∴an﹣1=2n﹣1，即an=2n﹣1+1

（2）解：∵nan﹣n=n2n﹣1+n﹣n=n2n﹣1，

∴Sn=120+221+322+…+n2n﹣1，①，

2Sn=121+222+323+…+n2n，②，

②﹣①，得：Sn=﹣20﹣21﹣22﹣…﹣2n﹣1+n2n=﹣ +n2n=n2n+1﹣2n=（n﹣1）2n+1．

【解析】（1）已知通项公式变形，利用等比数列的性质判断得证，求出数列{an}的通项公式即可；（2）根据题意表示出数列{nan﹣n}的前n项和Sn ， 利用数列的递推式确定出Sn通项公式即可．
【考点精析】本题主要考查了等比数列的通项公式（及其变式）和数列的前n项和的相关知识点，需要掌握通项公式：；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题．