Question

已知函数，.
（1）当时，求的最小值；
（2）若，求a的取值范围.

Answer 1

（1）0；（2）(－∞，0).

试题分析：本题主要考查导数的计算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，对求导，利用“单调递增，单调递减”判断函数的单调性，确定函数最值的位置，并求出函数的最小值；第二问，先将已知不等式进行转化，将所求的参数分离出来，构造新的函数，利用“单调递增，单调递减”判断函数的单调性，确定函数最值的位置，并求出函数的最值，代入到所转化的式子中即可.
试题解析：（1）当a＝1时，f(x)＝x²－lnx－x，．
当x∈(0，1)时，f¢(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f¢(x)＞0．
所以f(x)的最小值为f(1)＝0．          5分
（2）f(x)＞x，即f(x)－x＝x²－lnx－(a＋1)x＞0．
由于x＞0，所以f(x)＞x等价于．      7分
令，则．
当x∈(0，1)时，g¢(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，g¢(x)＞0．
g(x)有最小值g(1)＝1．
故a＋1＜1，a的取值范围是(－∞，0)．       12分