Question

设偶函数f（x）的定义域为（-π，0）∪（0，π），当x∈（0，π）时，f（x）=-f′（

π

2

）sin x-πln x，若a=f（log_π3），b=f（-log₃9），c=f（log₂3），则a、b、c的大小关系为（　　）

• A、a＞b＞c
• B、b＞c＞a
• C、c＞a＞b
• D、a＞c＞b

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：把原函数求导，取x=

π

2

得到f′(

π

2

)=-2，代入导函数后可知导函数在（0，π）上恒小于0，则原函数在（0，π）上单调递减，比较log_π3，-log₃9，log₂3的大小后借助于偶函数的性质及函数单调性得答案．

解答： 解：由f（x）=-f′（

π

2

）sin x-πln x，得：
f′(x)=-f′(

π

2

)cosx-

π

x

，
∴f′(

π

2

)=-f′(

π

2

)cos

π

2

-

π

π 2

，
则f′(

π

2

)=-2．
∴f（x）=-f′（

π

2

）sin x-πln x
=2sinx-πlnx x∈（0，π）．
当x∈（0，π）时，f′(x)=2cosx-

π

x

＜0，
∴f（x）在（0，π）上为减函数．
由0＜log_π3＜1，-log₃9=-2，1＜log₂3＜2．
且b=f（-2）=f（2），
∴f（log_π3）＞f（log₂3））＞f（-log₃9），
则a、b、c的大小关系为a＞c＞b．
故选：D．

点评：本题考查了导数的计算，考查了函数奇偶性与单调性的运用，考查了对数的运算性质，是中档题．