Question

5．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinA，cosA），$\overrightarrow{n}$=（1，-2），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{0}$．
（1）求tanA的值；
（2）求函数f（x）=cos2x+tanAsinx（x∈R）的值域．

Answer 1

分析 （1）由向量的数量积的坐标表示，结合同角的商数关系，计算即可得到所求；
（2）由二倍角的余弦公式，化简整理可得sinx的二次函数，由正弦函数的值域和二次函数的最值求法，即可得到值域．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{m}$=（sinA，cosA），$\overrightarrow{n}$=（1，-2），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0，
即有sinA-2cosA=0，
则tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=2；
（2）f（x）=cos2x+tanAsinx=cos2x+2sinx=-2sin²x+2sinx+1=-2（sinx-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{2}$，
由-1≤sinx≤1，
$\frac{1}{2}$∈[-1，1]，可得f（x）的最大值为$\frac{3}{2}$，
当sinx=-1时，f（x）=-3，
sinx=1时，f（x）=1．
则f（x）的最小值为-3．
则f（x）的值域为[-3，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查向量数量积的坐标表示，考查二倍角的余弦公式和正弦函数的值域，以及二次函数的最值的求法，属于中档题．