Question

【题目】设S是实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足STR的任意集合T也是封闭集．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)

Answer 1

【答案】①②

【解析】①正确，任取x，y∈S，设x＝a1＋b1，y＝a2＋b2 (a1，b1，a2，b2∈Z)，则x＋y＝(a1＋a2)＋(b1＋b2) ，其中a1＋a2∈Z，b1＋b2∈Z.即x＋y∈S.同理x－y∈S，xy∈S.

②正确，当x＝y时，x－y=0∈S.

③错误，当S＝{0}时，是封闭集，但不是无限集．

④错误，设S＝{0}T＝{0,1}，显然T不是封闭集．

因此正确命题为①②.