Question

某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为k（k＞0），且知当利率为0.012时，存款量为1.44亿；又贷款的利率为4.8%时，银行吸收的存款能全部放贷出去；若设存款的利率为x，x∈（0，0.048），则当x为多少时，银行可获得最大收益？

Answer 1

解：由题意知：存款量f（x）=kx²，
当利率为0.012时，存款量为1.44亿，
即x=0.012时，y=1.44；
由1.44=k•（0.012）²，得k=10000，
∴f（x）=10000x²，
银行应支付的利息g（x）=x•f（x）=10000x³，
设银行可获收益为y=贷款收益-利息支出，
则y=480x²-10000x³，
由于y'=960x-30000x²，则y'=0，
即960x-30000x²=0，得x=0或x=0.032．
因为x∈（0，0.032）时，y'＞0，
此时，函数y=480x²-10000x³递增；
x∈（0.032，0.048）时，y'＜0，
此时，函数y=480x²-10000x³递减；
故当x=0.032时，y有最大值，其值约为0.164亿．
分析：由题意知：存款量f（x）=kx²，当利率为0.012时，存款量为1.44亿，由1.44=k•（0.012）²，得k=10000，得f（x）=10000x²，银行应支付的利息g（x）=x•f（x）=10000x³，设银行可获收益为y，则y=480x²-10000x³，再由导数性质能求出当x为多少时，银行可获得最大收益．
点评：本题考查函数在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用．