Question

【题目】某社区为了解辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”，从辖区住户的离退休老人中随机抽取了100位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外“活动时间”（单位：小时），活动时间按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]从少到多分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）求图中a的值；

（Ⅱ）估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数；

（III）在[1.5，2）、[2，2.5）这两组中采用分层抽样抽取9人，再从这9人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在同一个组的概率．

Answer 1

【答案】（1）a=0.40（2）2.06（3）

【解析】

（I）由频率和为1列方程求出a的值；
（II）利用中位数两边频率相等求出中位数的大小；
（III）采用分层抽样求出两组抽取的人数，再利用基本事件计算所求的概率值．

（I）解：由频率分布直方图，可知，辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”在[0，0.5）的频率为0.08×0.5=0.04．

同理，在[0.5，1），[1,1.5），[1.5，2）[2，2.5），[2.5，3）[3，3.5），[3.5，4），[4，4.5]的频率分别为0.08，0.15，0.5a，0.25，0.15，0.07，0.04，0.02

由

解得a=0.40．

（II）解：设“活动时间”的中位数为m小时．

因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.25=0.72＞0.5，

而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20=0.47＜0.5，所以2≤m＜2.5．

由0.50×（m2）=0.50.47，解得m=2.06．

所以估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数为2.06小时．

（III）解：由题意得平均户外活动时间在[1.5，2），[2，2.5）中的人数分别有20人、25人，按分层抽样的方法分别抽取4人、5人，记作A，B，C，D及a，b，c，d，e从9人中随机抽取2人，共有36种，分别为：

（A，B），（A，C），（A，D），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（A，e），（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），（B，e），（C，D），（C，a），（C，b），（C，c），（C，d），（C，e），（D，a），（D，b），（D，c），（D，d），（D，e），（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）

在同一组的有：（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D），（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d）（c，e），（d，e）．共16种，故抽取的两人恰好都在同一个组的概率．