Question

12．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），其中F₁、F₂为左右焦点，O为坐标原点，直线l与椭圆交于P（x₁、y₁），Q（x₂，y₂）两个不同点，当直线l过椭圆C右焦点F₂且倾斜角为$\frac{π}{4}$时，原点O到直线l的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，又椭圆上的点到焦点F₂的最近距离为$\sqrt{3}$-1
（1）求椭圆C的方程；
（2）以OP、OQ为邻边做平行四边形OQNP，当平行四边形OQNP面积为$\sqrt{6}$时，求平行四边形OQNP的对角线之积|ON|•|PQ|的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可设直线l的方程为y=x-c，则有$\frac{c}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得c=1．再由椭圆上的点到焦点F₂的最近距离为a-c=$\sqrt{3}-1$，得a=$\sqrt{3}，b=\sqrt{2}$．由此求得椭圆C的方程；
（2）当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，可得x₁=x₂，y₁=-y₂，再由平行四边形OQNP面积为$\sqrt{6}$，可得|ON|•|PQ|=$2\sqrt{6}$；
当直线l的斜率存在时，设直线l为y=kx+m，和椭圆方程联立，可得（2+3k²）x²+6kmx+3m²-6=0．由△＞0，得3k²+2＞m²，再由一元二次方程的根与系数的关系得${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{6km}{2+3{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{3{m}^{2}-6}{2+3{k}^{2}}$，由弦长公式求得|PQ|，由点到直线的距离公式求得O到l的距离为d，代入△POQ的面积可得3k²+2=2m²，满足△＞0．
设M是ON与PQ的交点，则$|OM{|}^{2}=（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）^{2}+（\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}）^{2}=\frac{9{k}^{2}}{4{m}^{2}}+\frac{1}{{m}^{2}}=\frac{1}{2}（3-\frac{1}{{m}^{2}}）$，$|PQ{|}^{2}=（1+{k}^{2}）\frac{24（3{k}^{2}+2-{m}^{2}）}{（2+3{k}^{2}）^{2}}=\frac{2（2{m}^{2}+1）}{{m}^{2}}=2（2+\frac{1}{{m}^{2}}）$，进一步得到
$|OM{|}^{2}•|PQ{|}^{2}=（3-\frac{1}{{m}^{2}}）（2+\frac{1}{{m}^{2}}）≤\frac{25}{4}$，当且仅当$3-\frac{1}{{m}^{2}}=2+\frac{1}{{m}^{2}}$，即m=$±\sqrt{2}$时等号成立．由此可得|OM|•|PQ|的最大值为$\frac{5}{2}$，|ON|•|PQ|=2|OM|•|PQ|的最大值为5．

解答 解：（1）∵直线l的倾斜角为$\frac{π}{4}$，设F₂（C，0），则直线l的方程为y=x-c，
则$\frac{c}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得c=1．
由椭圆的几何性质可得椭圆上的点到焦点F₂的最近距离为a-c=$\sqrt{3}-1$，得a=$\sqrt{3}，b=\sqrt{2}$．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，则x₁=x₂，y₁=-y₂，
由P（x₁，y₁）在椭圆上，则$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{3}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}=1$，而$S=2|{x}_{1}{y}_{1}|=\sqrt{6}$，则$|{x}_{1}|=\frac{\sqrt{6}}{2}，|{y}_{1}|=1$．
知|ON|•|PQ|=$2\sqrt{6}$；
当直线l的斜率存在时，设直线l为y=kx+m，代入$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$可得，
2x²+3（kx+m）²=6，即（2+3k²）x²+6kmx+3m²-6=0．
△＞0，即3k²+2＞m²，${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{6km}{2+3{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{3{m}^{2}-6}{2+3{k}^{2}}$，
|PQ|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}\frac{2\sqrt{6}\sqrt{3{k}^{2}+2-{m}^{2}}}{2+3{k}^{2}}$．
设O到l的距离为d，
则d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，${S}_{△POQ}=\frac{1}{2}d|PQ|=\frac{1}{2}|m|\frac{2\sqrt{6}\sqrt{3{k}^{2}+2-{m}^{2}}}{2+3{k}^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$．
化为9k⁴+12k²+4-12m²k²-8m²+4m⁴=0．
得到（3k²+2-2m²）²=0，则3k²+2=2m²，满足△＞0．
由前知，$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-\frac{3k}{2m}，\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}=k（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）+m=-\frac{3{k}^{2}}{2m}+m=\frac{1}{m}$，
设M是ON与PQ的交点，则
$|OM{|}^{2}=（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）^{2}+（\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}）^{2}=\frac{9{k}^{2}}{4{m}^{2}}+\frac{1}{{m}^{2}}=\frac{1}{2}（3-\frac{1}{{m}^{2}}）$，
$|PQ{|}^{2}=（1+{k}^{2}）\frac{24（3{k}^{2}+2-{m}^{2}）}{（2+3{k}^{2}）^{2}}=\frac{2（2{m}^{2}+1）}{{m}^{2}}=2（2+\frac{1}{{m}^{2}}）$，
$|OM{|}^{2}•|PQ{|}^{2}=（3-\frac{1}{{m}^{2}}）（2+\frac{1}{{m}^{2}}）≤\frac{25}{4}$，当且仅当$3-\frac{1}{{m}^{2}}=2+\frac{1}{{m}^{2}}$，即m=$±\sqrt{2}$时等号成立．
综上可知，|OM|•|PQ|的最大值为$\frac{5}{2}$，|ON|•|PQ|=2|OM|•|PQ|的最大值为5．

点评 本题主要考查圆锥曲线的定义的应用，在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口，考查直线与圆锥曲线的位置关系，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常联立直线与圆锥曲线方程，利用一元二次方程的根与系数的关系求解，该题运算量大，要求学生具有较强的运算能力，属难题．