Question

三棱锥P-ABC中△PAC是边长为4的等边三角形，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，平面PAC⊥面ABC，D、E分别为AB、PB的中点．
（1）求证AC⊥PD；
（2）求二面角E-AC-B的正切值．
（3）求三棱锥P-CDE与三棱锥P-ABC的体积之比．

Answer 1

解：（1）证：取AC中点O，PO⊥AC，又面PAC⊥面ABC∴PO⊥面ABC，连OD，则OD⊆面PBC，则DO⊥AC，∴AC⊥面POD，AC⊥PD…（3分）
（2）解：连OB，过E作EF⊥OB于F
Q面POB⊥面ABC∴EF⊥面ABC 过F作FG⊥AC
连EG知EG⊥AC∠EGF为二面角E-AC-B的平面角
在VPOB中，EFP=
在VOBC中，FGP=…（8分）
（3）解：V_P-CDE=V_D-PCE，E为PB中点
∴，
即…（13分）
分析：（1）取AC中点O，连OD证明AC⊥面POD即可由线面垂直证明出AC⊥PD；
（2）求二面角需先作出它的平面角，由图知连OB，过E作EF⊥OB于F，过F作FG⊥AC，连EG，知EG⊥AC，∠EGF为二面角E-AC-B的平面角，求出其正切值；
（3）由图形将三棱锥P-CDE的体积用V_D-PCE，表示出来，将问题转化为求V_D-PCE与三棱锥P-ABC的体积之比，研究两个几何体的高与底面即可得出它们的比值
点评：本题考查二面角的求法，解题关键是作出二面角的平面角，在三角形中求出二面角的大小，注意二面角的作法规则，在求二面角时，常因为作出二面角后没有证明它就是二面角的平面角而造成推掉步骤分，作此类题时要谨记．本题中也涉及到了线线垂直与求棱锥体积的方法，求棱锥的体积时要注意变换顶点，换个角度求体积．