Question

已知一次函数f（x）的图象关于直线y=x对称的图象为C，且f[f（1）]=-1，若点(n，

an+1

an

)(n∈N+)在曲线C上，并有a₁=1，

an+1

an

-

an

an-1

=1(n≥2)
（1）求f（x）的解析式及曲线C的方程；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设bn=

an

(n+2)!

，求证：数列{b_n}的前n项和S_n＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）首先设设f（x）=kx+b（k≠0），代入f[f（1）]即可得k²+kb+b+1=0①；求出反函数f-1(x)=

x

k

-

b

k

，将点(n，

an+1

an

)(n∈N+)代入得f^-1（n）-f^-1（n-1）=1，又f-1(n)-f-1(n-1)=

1

k

，即可得出k=1，代入①得b=-1
 故可求出f（x）=x-1，f^-1（x）=x+1，进而知曲线C的方程是x-y+1=0；
（2）由（1）知当x=n时，f^-1（n）=n+1故

an+1

an

=n+1，即可求出a_n=n!；
（3）由（2）可得bn=

1

n+1

-

1

n+2

，即可求出s_n=b₁+b₂++b_n=

1

2

-

1

n+2

＜

1

2

．

解答：解：（1）设f（x）=kx+b（k≠0）（1分）
则f[f（1）]=k（k+b）+b=k²+kb+b=-1即k²+kb+b+1=0①（2分）
又f-1(x)=

x

k

-

b

k

是曲线C的解析式．
∵点(n，

an+1

an

)在曲线C上，
∴f-1(n)-f-1(n-1)=

an+1

an

-

an

an-1

=1
又∵f-1(n)-f-1(n-1)=

1

k

故

1

k

=1，∴k=1，代入①得b=-1
∴f（x）=x-1，f^-1（x）=x+1∴曲线C的方程是x-y+1=0（5分）

（2）由（1）知当x=n时，f^-1（n）=n+1故

an+1

an

=n+1，而a₁=1，
于是an=

an

an-1

•

an-1

an-2

a2

a1

•a1=n•(n-1)3•2•1=n!（10分）

（3）∵bn=

an

(n+2)!

=

n!

(n+2)!

=

1

(n+2)(n+1)

=

1

n+1

-

1

n+2

∴S_n=b₁+b₂++b_n=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)++(

1

n+1

-

1

n+2

)=

1

2

-

1

n+2

＜

1

2

（14分）

点评：本题主要考函数及数列的综合运用及其相关运算，属于中档题．