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已知直线l:x=4与x轴相交于点M,动点P满足PM⊥PO(O是坐标原点).
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)试在直线l上确定一点D(异于M点),过点D作曲线C的切线,使得切点E恰为切线与x轴的交点F与点D的中点.
分析:(1)依题意,M(4,0),设P(x,y)(x≠0且x≠4),由PM⊥PO,得
PM
PO
=0
,即可得动点P的轨迹C的方程;
(2)因为DE、DM都是圆(x-2)2+y2=4的切线,所以DE=DM,根据E点位DF的中点,可求得CF=4,FM=6,进而可得DM=2
3
,故可得D的坐标.
解答:解:(1)依题意,M(4,0)…(1分)
设P(x,y)(x≠0且x≠4),由PM⊥PO,得
PM
PO
=0
,即x(x-4)+y2=0…(4分)
整理得:动点P的轨迹C的方程为(x-2)2+y2=4(x≠0且x≠4)…(6分)
(2)因为DE、DM都是圆(x-2)2+y2=4的切线,所以DE=DM…(9分)
因为E点是DF的中点,所以DF=2DE=2DM,所以∠DFN=
π
6
…(11分)
设C(2,0),在△CEF中,∠CEF=
π
2
,∠CFE=
π
6
,CE=2,
所以CF=4,FM=6…(13分)
从而DM=2
3
,故D(4,±2
3
)…(15分)
点评:本题考查向量知识的运用,考查圆的方程,考查圆的切线,正确运用向量知识是关键.
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(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过直线l上一点D(D≠M)作曲线C的切线,切点为E,与x轴相交点为F,若
DE
=
1
2
DF
,求切线DE的方程.

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