Question

已知等差数列{a_n}的通项公式为a_n=3n-2，等比数列{b_n}中，b₁=a₁，b₄=a₃+1．记集合A={x|x=a_n，n∈N^*}，B={x|x=b_n，n∈N*}，U=A∪B，把集合U中的元素按从小到大依次排列，构成数列{c_n}．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{c_n}的前50项和S₅₀；
（Ⅲ）把集合?_UA中的元素从小到大依次排列构成数列{d_n}，写出数列{d_n}的通项公式，并说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）设等比数列{b_n}的公比为q，
∵b₁=a₁=1，b₄=a₃+1=8，则q³=8，∴q=2，
∴b_n=2^n-1；
（Ⅱ）根据数列{a_n}和数列{b_n}的增长速度，数列{c_n}的前50项至多在数列{a_n}中选50项，数列{a_n}的前50项所构成的集合为{1，4，7，10，…，148}，
由2^n-1＜148得，n≤8，数列{b_n}的前8项构成的集合为{1，2，4，8，16，32，64，128}，其中1，4，16，64是等差数列{a_n}中的项，2，8，32，128不是等差数列中的项，a₄₆=136＞128，故数列{c_n}的前50项应包含数列{a_n}的前46项和数列{b_n}中的2，8，32，128这4项．
所以S₅₀==3321；
（Ⅲ）据集合B中元素2，8，32，128∉A，猜测数列{d_n}的通项公式为d_n=2^2n-1．
∵d_n=b_2n，∴只需证明数列{b_n}中，b_2n-1∈A，b_2n∉A（n∈N^*），
证明如下：∵b_2n+1-b_2n-1=2²ⁿ-2^2n-2=4ⁿ-4^n-1=3×4^n-1，即b_2n+1=b_2n-1+3×4^n-1，
若?m∈N^*，使b_2n-1=3m-2，那么b_2n+1=3m-2+3×4^n-1=3（m+4^n-1）-2，
所以，若b_2n-1∈A，则b_2n+1∈A．因为b₁∈A，重复使用上述结论，即得b_2n-1∈A（n∈N^*）．
同理，b_2n+2-b_2n=2²ⁿ⁺¹-2^2n-1=2×4ⁿ-2×4^n-1=3×2×4^n-1，即b_2n+2=b_2n+3×2×4^n-1，
因为“3×2×4^n-1”为数列{a_n}的公差3的整数倍，
所以说明b_2n 与b_2n+2（n∈N^*）同时属于A或同时不属于A，
当n=1时，显然b₂=2∉A，即有b₄=2∉A，重复使用上述结论，即得b_2n∉A，
∴d_n=2^2n-1；
分析：（Ⅰ）设等比数列{b_n}的公比为q，利用等比数列的通项公式即可求得q，从而得到通项公式；
（Ⅱ）根据数列{a_n}和数列{b_n}的增长速度，判断数列{c_n}的前50项中包含{a_n}、{b_n}的项的情况，再根据等差数列求和公式即可得到结果；
（Ⅲ）据集合B中元素2，8，32，128∉A，猜测数列{d_n}的通项公式为d_n=2^2n-1，由d_n=b_2n，∴只需证明数列{b_n}中，b_2n-1∈A，b_2n∉A（n∈N^*），通过作差b_2n+1-b_2n-1，可判断若b_2n-1∈A，则b_2n+1∈A．根据为b₁∈A判断b_2n-1∈A（n∈N^*）．同理可判断b_2n∉A，从而得到d_n=2^2n-1．
点评：本题考查等差数列、等比数列的综合及数列求和，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，本题中（Ⅲ）问先猜后证的思路值得借鉴学习，要细心领会．