Question

已知条件p：实数x满足（x-a）（x-3a）＜0，其中a＞0；条件q：实数x满足x²-5x+6＜0．
（Ⅰ）若a=1，且“p∧q”为真，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若q是p的充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断,复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：（1）若a=1，求出命题p，q的等价条件，利用p∧q为真，则p，q为真，即可求实数x的取值范围；
（2）求出命题p，q的等价条件，利用q是p的充分条件，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）若a=1，不等式为（x-a）（x-3a）＜0为
（x-1）（x-3）＜0，
即1＜x＜3，即p：1＜x＜3，
由x²-5x+6＜0得（x-3）（x-2）＜0，
则2＜x＜3，即q：2＜x＜3，
若p∧q为真，则p，q同时为真，
即

1＜x＜3 2＜x＜3

，解得2＜x＜3，
则实数x的取值范围是2＜x＜3；
（2）∵x²-4ax+3a²＜0，
∴（x-a）（x-3a）＜0，
若a＞0，则不等式的解为a＜x＜3a，
若a＜0，则不等式的解为3a＜x＜a，
∵q：2＜x＜3，
∴若q是p的充分条件，
则a＞0，且

a≤2 3a≥3

，
即1≤a≤2，
则实数a的取值范围是[1，2]．

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及不等式的求解，利用不等式的解法时解决本题的关键．